Geometria Euclidea
Il corso parte dalla Geometria Euclidea, per ridefinire il concetto stesso di Geometria utilizzando il concetto di vettore.
La geometria di seguito descritta sarà fondata su due strumenti:
- insieme dei reali
- concetto di vettore
Approccio più elegante e potente poiché permette più dimostrazioni ed è più facile da usare.
L'algebra lineare studia gli spazi vettoriali.
Prologo - Spazio Euclideo
Vettori geometrici, detti anche vettori liberi.
Def. Segmento Orientato
Un segmento dello spazio, individuato da un punto iniziale 
e un punto finale 
, si dice segmento orientato di punto iniziale e punto finale e si denota con i simboli: 
oppure 
.
Se e coincidono, il segmento si riduce ad un singolo punto.
Def. Segmenti Orientati Equipollenti
Due segmenti orientati e 
si dicono equipollenti se accade una delle seguenti:
- se
e 
- oppure se e giacciono su rette parallele, hanno la stessa lunghezza e lo stesso verso.
Cioè, se muoviamo parallelamente alle retta che passa per e , riusciamo a sovrapporre e in modo tale che i punti iniziali di e si sovrappongano.
Def. Vettore geometrico (libero)
Si dice vettore geometrico o vettore libero l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti tra loro.
Dato segmento orientato, un vettore libero 
avente rappresentante in è l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti ad .
Notazione
Per indicare che il vettore libero è rappresentato dal segmento si scrive:
- oppure
.
Nota: Il simbolo di 
va inteso come notazione, in questo caso non rappresenta un'uguaglianza.
Per questa ragione si dice anche che è un vettore applicato, intendendo che abbiamo applicato il vettore libero al punto ottenendo il segmento orientato .
Def. Modulo del vettore libero
Il modulo di un vettore libero è il numero reale indicato col simbolo 
dato dalla lunghezza di un qualsiasi segmento orientato che rappresenti .
Def. Vettore nullo
Il vettore libero determinato fa tutti i segmenti orientati degeneri, cioè in cui il punto iniziale è uguale al punto finale, è detto vettore libero nullo e si denota col simbolo 
.
Il vettore nullo è unico, ha direzione e verso indeterminati e lunghezza uguale a zero.
.
Notazione: Spazio Tridimensionale
L'insieme di tutti i vettori liberi dello spazio è indicato con 
.
Def. Somma su
Presi 
si definisce 
nel modo seguente:
Si considera il rappresentante di 
applicato nel punto finale di . Il vettore è definito come l'insieme dei segmenti orientati equipollenti ad 
. L'operazione di somma così definita è coerente con quella della geometria euclidea.
Tale definizione non dipende dalla scelta dei rappresentanti.
Si dimostra con gli strumenti della geometria euclidea che la scelta dei rappresentanti è indifferente.
Un altro metodo per definire la stessa operazione di somma p data dalla regola del parallelogramma.
I due vettori e vengono applicati nel medesimo punto iniziale. Si costruisce il parallelogramma di lati 
e 
. Allora sarà il vettore il cui rappresentante applicato nel punto è la diagonale del parallelogramma.
Notazione coerente con l'operazione di somma.
Rimane da definire la somma di due vettori quando e sono paralleli (ovvero hanno la stessa direzione).
Caso 1 e hanno lo stesso verso, ha la stessa direzione e lo stesso verso degli addendi e come lunghezza la somma delle lunghezze.
Caso 2 se hanno verso discorde, allora è definito come il vettore avente la stessa direzione di e , il verso del vettore di lunghezza maggiore e lunghezzapari alla differenza delle lunghezze.
In è inoltre possibile definire un'ulteriore operazione: il prodotto di un vettore per uno scalare.
Def. Scalare
In questo corso sarà un numero reale, o in casi eccezionali complesso.
Sia 
e 
, vogliamo definire 
:
- se
o 
, 
- se
ha lo stesso verso e direzione di e lunghezza pari al prodotto 
Teorema
Le operazioni di somma e prodotto con uno scalare così definite soddisfano le seguenti proprietà:
,
Esempio di associatività della somma
Le 8 proprietà sono state prese come base assiomatica di una nuova geometria, detta Algebra Lineare. Essa ammette la geometria euclidea come caso particolare.