Algebra Lineare (Fondamenti)

Def. Spazio Vettoriale

Sia un insieme e sia , si dice spazio vettoriale se su sono definite:

una operazione di somma, indicata con "", cioè una operazione che associa a due elementi un altro elemento ;
una operazione di prodotto con uno scalare, indicata con "", cioè una operazione che associa a e , un altro elemento e richiediamo che tali operazioni soddisfino i seguenti assiomi:

Proprietà associativa della somma:
Esistenza dell'elemento neutro per la somma:
Esistenza del vettore opposto:
Proprietà commutativa della somma:
Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto:
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
Proprietà associativa del prodotto:
Esistenza dell'elemento neutro per il prodotto:

Nota: gli elementi appartenenti a continuano a godere delle proprietà di , quindi per esempio non è necessario definire la proprietà commutativa tra e .

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

Def. Vettore

Elemento appartenente ad uno spazio vettoriale.

Se allora è detto spazio vettoriale reale. Se allora è detto spazio vettoriale complesso.

Esempio di spazio vettoriale - Spazio Euclideo

Sia , e siano e rispettivamente le operazioni di somma di vettori liberi e di prodotto di un vettore libero per uno scalare definiti nel capitolo precedente, allora è uno spazio vettoriale reale ed è lo spazio euclideo.

è una operazione interna, sia gli operandi che il risultato appartengono a .

Dimostrazione unicità del vettore nullo

Dimostrazione per assurdo Supponiamo che esista un altro elemento , allora che per ipotesi iniziale è assurdo, infatti risulterebbe .

Esempio Spazio Vettoriale - Coppie

Proprietà:

Definiamo una operazione di somma su nel modo seguente:

Definiamo una operazione di prodotto per scalare su nel modo seguente:

Tali operazioni soddisfano gli otto assiomi.

Dimostrazione (soddisfa p. associativa della somma)

Analogamente si dimostra che soddisfano anche le altre proprietà. L'elemento neutro di tale spazio vettoriale è la coppia .

Esempio Spazio Vettoriale - Polinomi

polinomi in a coefficienti reali.

Definiamo analogamente somma e prodotto per uno scalare sui polinomi.

Anche è uno spazio vettoriale, in cui e sono le usuali operazioni di somma e prodotto.

Esempio Spazio NON Vettoriale

Prendiamo , con somma come precedentemente definita e prodotto per scalare definito nel modo seguente: . Non è uno spazio vettoriale poiché non vale la proprietà di esistenza dell'elemento neutro per il prodotto: .